Question

решить задачу Коши: y'+y/2x=x²; y(1)=1​

Answer 1

Ответ:

$y' + \frac{y}{2x} = {x}^{2} \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u + \frac{uv}{2x} = {x}^{2} \\ u'v + u(v' + \frac{v}{2x} ) = {x}^{2} \\ \\ 1)v + \frac{v}{2x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - \frac{v}{2x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = - \frac{1}{2} ln(x) \\ v = \frac{1}{ \sqrt{x} } \\ \\ 2)u'v = {x}^{2} \\ \frac{du}{dx} \times \frac{1}{ \sqrt{x} } = {x}^{2} \\ \int\limits \: du = \int\limits {x}^{ \frac{5}{2} } dx \\ u = \frac{ {x}^{ \frac{7}{2} } }{ \frac{7}{2} } + C= \frac{2}{7} {x}^{3} \sqrt{x} + C\\ \\ y = \frac{1}{ \sqrt{x} } ( \frac{2}{7} {x}^{3} \sqrt{x} + C) = \\ = \frac{2}{7} {x}^{3} + \frac{ C}{ \sqrt{x} }$

общее решение

$y(1) = 1$

$1 = \frac{2}{7} + C \\ C = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

$y = \frac{2}{7} {x}^{3} + \frac{5}{7 \sqrt{x} } = \frac{2 {x}^{3} \sqrt{x} + 5}{7 \sqrt{x} }$

частное решение