Question

Докажите, что для комплексных чисел можно применять формулу разности квадратов

Answer 1

пусть z₁=a+bi;  z₂=c+di

выполним разность квадратов комплексных чисел

$\displaystyle z_1^2-z_2^2=(a+bi)^2-(c+di)^2=(a^2+2abi-b^2)-(c^2+2cdi-d^2)=\\\\=(a^2-b^2-c^2+d^2)+i(2ab-2cd)$

теперь применим формулу разности квадратов

$\displaystyle z_1^2-z_2^2=(a+bi)^2-(c+di)^2=(a+bi-c-di)*(a+bi+c+di)=\\\\=((a-c)+i(b-d))*((a+c)+i(b+d))=\\\\=(a-c)(a+c)+i(b-d)(a+c)+i(b+d)(a-c)-(b-d)(b+d)=\\\\=a^2-c^2+i(ab+bc-ad-cd)+i(ab+ad-bc-cd)-(b^2-d^2)=\\\\=a^2-c^2-b^2+d^2+i(2ab-2cd)$

мы получили равные выражения.