Question

4. (4 балла) Площадь треугольника ABC равна 24 см. AB = 3 см, AC = 8 см. Найдите
величину угла ВАС.
ТОЛЬКО 4 или 5

Answer 1

Ответ:

4. Треугольник не существует

5. $\boxed{S_{ABCD} = 36\sqrt{3} }$ сантиметров квадратных

Объяснение:

4.

Дано: $S_{\bigtriangleup ABC} = 24$ см², AB = 3 см, AC = 8 см

Найти: ∠BAC - ?

Решение: По формуле площади треугольника $S_{\bigtriangleup ABC} = AB * AC * 0,5 * \sin \angle BAC \Longrightarrow \sin \angle BAC = \dfrac{S_{\bigtriangleup ABC}}{AB * AC * 0,5} = \dfrac{24}{3 * 8 * 0,5}= \frac{24}{12} = 2 > 1$

Так как синус больше единицы угла ∠BAC, то треугольник не существует.

5.

Дано: ABCD - трапеция, AB = CD, AC ⊥ CD, ∠CDA = 60°, AD = $8\sqrt{3}$ см

Найти: $S_{ABCD}$ - ?

Решение: Так как  AC ⊥ CD по условию, то угол ∠ACD = 90° .Проведем высоту трапеции з точки C в точку H на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔACH. $\cos \angle CDA = \dfrac{CD}{DA} \Longrightarrow CD = AD * \cos \angle CDA = 8\sqrt{3} * 0,5 = 4\sqrt{3}$.Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔCHD. $\sin \angle CDA = \dfrac{CH}{CD} \Longrightarrow CH = CD * \sin \angle CDA = 4\sqrt{3} * 0,5\sqrt{3} = 2 * 3 = 6$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔACH. По теореме про сумму углов треугольника: ∠ACD + ∠CDA + ∠DAC = 180° ⇒ ∠CAD = 180° - ∠CDA - ∠ACD = 180° - 60° - 90° = 30°. Так как трапеция равнобедренная по условию, то по свойствам равнобедренной трапеции ∠BAD = ∠CDA = 60°. ∠BAD = ∠BAC + CAD ⇒ ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 30° = 30°. По определению трапеции BC║AD, тогда угол ∠CAD = ∠BCA как внутренние разносторонние углы при параллельных прямых и секущей по теореме. Так как ∠ACB = ∠BAC = 30°, то по теореме  треугольник ΔBAC - равнобедренный, тогда AB = BC = CD = $4\sqrt{3}$.

По формуле площади трапеции:

$S_{ABCD} = (BC + AD) * 0,5 * CH = (4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} )* 0,5 * 6 = 3 * 12\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ сантиметров квадратных.