Question

Помогите решить неопределенный интеграл

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{ \sqrt[4]{x} + 1}{( \sqrt{x} + 4) \sqrt[4]{ {x}^{3} } } dx \\ \\ \sqrt[4]{x} = t \\ \sqrt[4]{ {x}^{3} } = {t}^{3} \\ \sqrt{x} = {t}^{2} \\ x = {t}^{4} \\ dx =4 {t}^{3} dt \\ \\ \int\limits \frac{t + 1}{( {t}^{2} + 4) {t}^{3} } \times 4 {t}^{3} dt = 4 \int\limits \frac{t + 1}{t {}^{2} + 4 } dt = \\ = 4 \int\limits \frac{t}{t {}^{2} + 4} dt + 4 \int\limits \frac{dt}{t {}^{2} + 4 } = \\ = 2 \int\limits \frac{2tdt}{t {}^{2} + 4 } + 4 \int\limits \frac{dt}{t {}^{2} + {2}^{2} } = \\ = 2 \int\limits \frac{d( {t}^{2} + 4)}{t {}^{2} + 4} + \frac{4}{2} arctg( \frac{t}{2} ) + C = \\ = 2 ln(t {}^{2} + 4 ) + 2 arctg ( \frac{t}{2}) + C = \\ = 2 ln( \sqrt{x} + 4) + 2arctg( \frac{ \sqrt[4]{x} }{2} ) + C$