Question

Высоту над землей подброшенного вертикально вверх мяча вычисляют по формуле h(t) = -2t² + 11t
где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска.
а) через сколько секунд мяч будет находиться на высоте 5 м?
б) на какой высоте будет мяч через 2с?
в) какой наибольшей высоты достигнет мяч?
г) через сколько секунд мяч опустится на землю?

Answer 1

a)

$h(t) = -2t^2+11t \\ \\ 5=-2t^2+11t \\ \\ 2t^2-11t+5=0 \\ \\ t_{1,2} =\frac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot 2 \cdot 5}}{2\cdot 2}=\frac{11\pm\sqrt{121-40}}{4}=\frac{11\pm\sqrt{81}}{4}=\frac{11\pm9}{4} \\ \\ t_1=\frac{11+9}{4}=\frac{20}{4}=5 \ c; \ \ \ \ \ \ \ t_2=\frac{11-9}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5 \ c$

Мяч будет находиться на высоте 5 м через 0,5 с после броска. Достигнув максимальной высоты, мяч начнёт снижаться и будет находится на высоте 5 м через 5 с после броска

б)

$h(t)=-2t^2+11t\\ \\ (-2)\cdot 2^2+11\cdot 2 =(-2)\cdot 4+22=-8+22=14 \ m$

мяч будет на высоте 14 м через 2 с после броска

в)

$h'(t)=(-2t^2+11t)'=-2\cdot 2\cdot t+11\cdot 1=-4t+11 \\ \\ h'(t)=0 \\ \\ -4t+11=0 \\ \\-4t=-11 \\ \\ 4t=11 \\ \\ t=\frac{11}{4} \ c \\ \\ h(\frac{11}{4})=(-2)\cdot (\frac{11}{4})^2+11\cdot \frac{11}{4}=(-2)\cdot \frac{121}{16}+\frac{121}{4}=-\frac{121}{8}+\frac{121}{4}=\frac{-121+242}{8}=\frac{121}{8} \ m$

$\frac{121}{8} =15\frac{1}{8}=15,125$

Наибольшая высота мяча  15,125 м

г)

$-2t^2+11t=0 \\ \\ -t\cdot (2t-11)=0 \\ \\ -t_1=0; \ \ \ \ 2t_2-11=0 \\ \\ t_1=0; \ \ \ \ \ \ \ 2t_2=11 \\ \\ t_1=0; \ \ \ \ \ \ \ t_2=\frac{11}{2}=5,5 \ c$

Мяч опустится на землю через 5,5 с