Question

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите длину образующей, если объём конуса равен 216п (п - пи, которое 3,14....)

Answer 1

Ответ:

$V = \frac{1}{3} \pi {r}^{2} h$

выразим высоту через радиус:

$tg30^{\circ} = \frac{h}{r} \\ h = \frac{ \sqrt{3} }{3} r$

подставим высоту в формулу объёма и найдем радиус

$\frac{1}{3} \times \pi {r}^{2} \times \frac{ \sqrt{3} }{3} r = 216\pi \\ {r}^{3} = 216 \times \frac{9}{ \sqrt{3} } \\ {r}^{3} = 261 \times 3\sqrt{3} \\ r = \sqrt[3]{216 \times 3 \sqrt{3} } = \\ = \sqrt[3]{ {6}^{3} \times {( \sqrt{3}) }^{3} } = 6 \sqrt{3}$

Найдем образующую:

$\cos(30^{\circ}) = \frac{r}{l} \\ l = \frac{r}{ \cos(30^{\circ}) } = 6 \sqrt{3} \times \frac{2}{ \sqrt{3} } = 12$

Ответ: 12 см