Question

найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке:f(x)=2x²-8/x+3,[-5;1] ​ решать функцию.

Answer 1

$f(x)=\frac{2x^2-8}{x+3} \\ \\ f'(x)=(\frac{2x^2-8}{x+3} )'=\frac{(2x^2-8)'\cdot(x+3) - (2x^2-8)\cdot (x+3)'}{(x+3)^2} =\frac{4x\cdot (x+3)-(2x^2-8)\cdot 1}{(x+3)^2}=\frac{4x^2+12x-2x^2+8}{(x+3)^2}=\\ \\ = \frac{2x^2+12x+8}{(x+3)^2}=\frac{2\cdot (x^2+6x+4)}{(x+3)^2} \\ \\ x\neq -3 \\ \\ x^2+6x+4=0 \\ \\ x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\frac{-6\pm\sqrt{36-16}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{4\cdot 5}}{2}=\frac{-6\pm2\sqrt{5}}{2}=-3\pm\sqrt{5}$

$-5<-3+\sqrt{5}<1 \ \ \ \ \ + | 3 \\ \\ -2<\sqrt{5}<4 \\ \\ \sqrt{5}<4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |^2 \\ \\ 5<16$

$-5<-3-\sqrt{5}<5 \ \ \ +|3\\ \\ -2<-\sqrt{5}<8 \ \ \ \ \ \ \ \ \cdot |(-1)\\ \\ -8<\sqrt{5}<2 \\ \\ \sqrt{5}<2 \ \ \ \ \ \ |^2 \\ \\ 5<4$

корень не принадлежит промежутку [-5;1]

$f(-3+\sqrt{5})=\frac{2\cdot(-3+\sqrt{5})^2-8}{-3+\sqrt{5}+3}=\frac{2\cdot(9-6\sqrt{5}+5)-8}{\sqrt{5}}=\frac{28-12\sqrt{5}-8}{\sqrt{5}}=\frac{20-12\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \\ \\ =\frac{\sqrt{5}\cdot (20-12\sqrt{5})}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{20\sqrt{5}-12\cdot 5}{5}=\frac{20\sqrt{5}-60}{5}=\frac{20\cdot (\sqrt{5}-3)}{5}=4\cdot (\sqrt{5}-3)$

$f(-5)=\frac{2\cdot(-5)^2-8}{-5+3}=\frac{50-8}{-2}=-\frac{42}{2}=-21 \\ \\ f(1)=\frac{2\cdot 1^2-8}{1+3}=\frac{2-8}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$

$-21 <4\cdot (\sqrt{5}-3)<-\frac{3}{2} \ \ \ :|4 \\ \\ -\frac{21}{4}<\sqrt{5}-3<-\frac{3}{8} \ \ \ \ \ \ \ \ +|3 \\ \\ -\frac{9}{4}<\sqrt{5}<\frac{21}{8} \\ \\ \\ \sqrt{5}<\frac{21}{8} \ \ \ \ \ \ \ |^2 \\ \\ 5<\frac{441}{64} \\ \\ \frac{320}{64}<\frac{441}{64} \ => \ -21<4\cdot (\sqrt{5}-3)<-\frac{3}{2}$

$\max\limits_{[-5;1]}{f(x)}=f(1)=-\frac{3}{2} \\ \\ \min\limits_{[-5;1]}{f(x)}=f(-5)=-21$