Question

В треугольнике АВС угол С равен 90°, CH - высота, АВ = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка АH​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{AH = 11}$

Объяснение:

Дано: ∠C = 90°, AB = 36, $\sin \angle A = \dfrac{5}{6}$, CH - высота

Найти: AH - ?

Решение:

Так как угол ∠A - угол прямоугольного треугольника ΔABC, так как по условию угол ∠C = 90°, то угол 0° < ∠A < 90°, следовательно любая тригонометрическая функция от угла ∠A больше нуля.

По основному тригонометрическому тождеству: $\sin^{2} \angle A + \cos^{2} \angle A = 1 \Longrightarrow \cos \angle A = \sqrt{1 - \sin^{2} \angle A} = \sqrt{1 - \bigg(\dfrac{5}{6} \bigg)^{2} } =$

$= \sqrt{1 - \dfrac{25}{36} } = \sqrt{\dfrac{36 - 25}{36} } = \sqrt{\dfrac{11}{36} } = \dfrac{\sqrt{11} }{6}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC:

$\cos \angle A = \dfrac{AC}{AB} \Longrightarrow AC = AB \cdot \cos \angle A = 36 \cdot \dfrac{\sqrt{11} }{6} = 6\sqrt{11}$.

Так как по условию CH - высота, то CH ⊥ AB, следовательно угол ∠CHA = 90°.Треугольник ΔACH - прямоугольный, так как ∠CHA = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔACH:

$\cos \angle A = \dfrac{AH}{AC} \Longrightarrow AH = AC \cdot \cos \angle A = 6\sqrt{11} \cdot \dfrac{\sqrt{11} }{6} = (\sqrt{11})^{2} = 11$ см.