Question

Вычислить площадь фигур,ограниченных указанным линиями

Answer 1

1.

a)

$y=2x^2, \ \ y=\frac{x}{2} \\ \\ 2x^2=\frac{x}2} \\ \\ 2x^2-\frac{x}{2}=0 \\ \\ x\cdot (2x-\frac{1}{2})=0 \\ \\ x_1=0, \ \ \ 2x_2-\frac{1}{2}=0 \\ \\ x_1=0; \ \ \ x_2=\frac{1}{4}$

$\int\limits^\frac{1}{4}_0 {(\frac{x}{2}-2x^2)} \, dx =\int\limits^\frac{1}{4}_0 {(\frac{x}{2}-2x^2)} \, dx =(\frac{x^2}{4}-\frac{2x^3}{3})|^\frac{1}{4}_0 = (\frac{1}{64}-\frac{2}{3\cdot 64})-0=\frac{1}{192}$

б)

$y=\frac{1}{2}x^2+x+2, \ \ y=-\frac{1}{2}x^2-3x+7 \\ \\ \frac{1}{2}x^2+x+2=-\frac{1}{2}x^2-3x+7 \\ \\ x^2+4x-5=0 \\ \\ x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot (-5)}}{2\cdot 1 }=\frac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\frac{-4\pm6}{2} \\ \\ x_1=\frac{-4+6}{2}=1; \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{-4-6}{2}=-5$

$\int\limits^1_{-5} {(-\frac{1}{2}x^2-3x+7-\frac{1}{2}x^2-x-2)} \, dx =\int\limits^1_{-5} {(-x^2-4x+5)} \, dx =\\ \\ =(-\frac{x^3}{3}-2x^2+5x)|^1_{-5}=(-\frac{1}{3} -2+5)-((-\frac{1}{3}\cdot (-5)^3-2\cdot (-5)^2+5\cdot (-5))= \\ \\ = \frac{8}{3}-(\frac{125}{3}-50-25)=-\frac{117}{3}+75=-39+75=36$

в)

$y=4x^2, \ \ y=-x \\ \\ 4x^2=-x \\ \\ 4x^2+x=0 \\ \\ x\cdot (4x+1)=0 \\ \\ x_1=0; \ \ \ \ 4x_2+1=0 \\ \\ x_1=0; \ \ \ \ x_2=-\frac{1}{4}$

$\int\limits^0_{-\frac{1}{4}} {(-x-4x^2)} \, dx =(-\frac{x^2}{2}-\frac{4x^3}{3})|^0_{-\frac{1}{4}}=0-(-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{4})^2-\frac{4}{3}\cdot (-\frac{1}{4})^3)=\\ \\ = -(-\frac{1}{32}+\frac{4}{3\cdot64})=\frac{1}{32}-\frac{1}{48}=\frac{1}{96}$