Question

50 БАЛЛОВ
Помогите, пожалуйста с математикой. 1 - дифференциальные уравнения, 2 - задача коши

Answer 1

Ответ:

1.

$\sqrt{4 - {x}^{2} } y'+ x {y}^{2} + x = 0 \\ \sqrt{4 - {x}^{2} } \frac{dy}{dx} = - x - x {y}^{2} \\ \sqrt{4 - {x}^{2} } \frac{dy}{dx} = - x(1 + {y}^{2} ) \\ \int\limits \frac{dy}{1 + {y}^{2} } = - \int\limits \frac{xdx}{ \sqrt{4 - {x}^{2} } } \\ arctgy = \frac{1}{2}\int\limits \frac{( - 2x)dx}{ \sqrt{4 - {x}^{2} } } \\ arctgy = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(4 - {x}^{2}) }{ {(4 - {x}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } } \\ arctgy = \frac{1}{2} \times \frac{ {(4 - {x}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C\\ arctgy = \sqrt{4 - {x}^{2} } + C$

общее решение

2.

$xy' = \sqrt{2 {x}^{2} + {y}^{2} } + y \: \: \: | \div x \\ y' = \sqrt{ \frac{2 {x}^{2} + {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + \frac{y}{x} \\ y'= \sqrt{2 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + \frac{y}{x} \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y = ux \\ y'= u'x + u \\ \\ u'x + u = \sqrt{2 + {u}^{2} } + u \\ \frac{du}{dx} = \sqrt{2 + {u}^{2} } \\ \int\limits\frac{du}{ \sqrt{2 + {u}^{2} } } = \int\limits \: dx \\ ln(u + \sqrt{2 + {u}^{2} } ) = x + c \\ ln( \frac{y}{x} + \sqrt{2 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } ) = x + C$

общее решение

3.

$y' + \frac{y}{x} = \frac{x + 1}{x} {e}^{x} \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u + \frac{uv}{x} = \frac{x + 1}{x} e {}^{x} \\ u'v + u(v '+ \frac{v}{x} ) = \frac{x + 1}{x} e {}^{x} \\ \\ 1)v '+ \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = - ln(x) \\ v = \frac{1}{x} \\ \\ 2)u'v = \frac{x + 1}{x} e {}^{x} \\ \frac{du}{dx} \times \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x} {e}^{x} \\ \int\limits \: du = \int\limits(x + 1) {e}^{x} dx$

решаем по частям:

$\int\limits(x + 1) {e}^{x} dx \\ \\ u = x + 1 \: \: \: \: \: du = dx \\ dv = {e}^{x} dx \: \: \: \: \: \: \: v = {e}^{x} \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = (x + 1) {e}^{x} - \int\limits {e}^{x} dx = \\ = (x + 1) {e}^{x} - {e}^{x} + C = \\ = e {}^{x} (x + 1 - 1) + C = x {e}^{x} + C$

получаем:

$u = x {e}^{x} + C\\ \\ y = uv = \frac{1}{x} (x {e}^{x} + C) \\ y = {e}^{x} + \frac{C}{x}$

общее решение

$y(1) = e$

$e = e + \frac{C}{1} \\ C = 0$

$y = e {}^{x}$

частное

4.

$y ''+ 3y' - 10y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 3k - 10) = 0 \\ D= 9 + 40 = 49 \\ k_1 = \frac{ - 3 + 7}{2} = 2 \\ k_2 = - 5 \\ y = C_1 {e}^{2x} + C_2 {e}^{ - 5x}$

общее решение