Question

Даю 40 баллов(знания даст 20 баллов)

Нехай a,b,c - сторони трикутника, Р- його периметр. Доведіть, що а^2+b^2+c^2>=P^2/3

Answer 1

Ответ:

замени периметр сторонами треугольника то есть Р=а+b+c , после чего Р^2=(a+b+c)^2

Объяснение:

и дальше упрости выражение , думаю так

Answer 2

Запишем очевидное неравенство:

(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 >= 0

Проведем цепочку преобразований:

a^2 - 2ab +b^2 + a^2 -2ac + c^2 + b^2 -2bc + c^2 >= 0

2(a^2 + b^2 + c^2) >= 2(ab +ac + bc)

2/3 * (a^2 + b^2 + c^2) >=2/3 * (ab +ac + bc)

a^2 + b^2 + c^2  - (a^2 +b^2 + c^2)/3  >=  2/3 * (ab +ac + bc)

a^2 + b^2 + c^2 >= (a^2 +b^2 + c^2)/3  +  2/3 * (ab +ac + bc)

a^2 + b^2 + c^2 >= (a^2 +b^2 + c^2 +2ab + 2bc + 2ac)/3

Заметим, что:

a^2 +b^2 + c^2 +2ab + 2bc + 2ac = (a+b+c)^2 = P^2

Таким образом:

a^2 + b^2 + c^2 >= P^2/3

Что и требовалось доказать.