Question

решить уравнение:
cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x

Answer 1

Ответ:

$cos^2x+cos^22x=cos^23x+cos^24x\ \ ,\ \qquad \ \boxed{\ cos^2\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2}\ }\\\\\\\dfrac{1+cos2x}{2}+\dfrac{1+cos4x}{2}=\dfrac{1+cos6x}{2}+\dfrac{1+cos8x}{2}\ \Big|\cdot 2\\\\1+cos2x+1+cos4x=1+cos6x+1+cos8x\\\\cos2x+cos4x-cos6x-cos8x=0\\\\(cos2x-cos6x)+(cos4x-cos8x)=0\ \ \ \boxe\\\\-2\, sin4x\cdot sin(-2x)-2\, sin6x\cdot sin(-2x)=0\\\\2\, sin4x\cdot sin2x+2\, sin6x\cdot sin2x=0\\\\2sin2x\cdot (sin4x+sin6x)=0$

$2\, sin2x\cdot 2sin5x\cdot cosx=0$

$a)\ \ sin2x=0\ ,\ \ 2x=\pi n\ ,\ \ \ x=\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z$

$b)\ \ sin5x=0\ \ ,\ \ 5x=\pi k\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi k}{5}\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi m\ \ ,\ m\in Z$

Серии решений из пункта а) и с) можно объединить в одну серию:  $x=\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z\ .$

Ответ:  $x_1=\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ x_2=\dfrac{\pi k}{5}\ ,\ \ n,k\in Z\ .$