Question

Ребят, нужна помощь с решением интегралов

Answer 1

$\int \frac{x+1}{x\sqrt{x-2}}dx\overset{t=\sqrt{x-2}}{=}2\int \frac{t^2+3}{t^2+2}dt=2\int \frac{dt}{t^2+2}+2\int dt=\sqrt{2}arctg\left ( \frac{t}{\sqrt{2}} \right )+2t+C=\\=\sqrt{2}arctg\left ( \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{2}} \right )+2\sqrt{x-2}+C\\\int x^2e^{-x}dx=\begin{vmatrix}f=x\Rightarrow f'=1\\ g'=e^{-x}\Rightarrow g=-e^{-x}\end{vmatrix}=-xe^{-x}-\int- e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C$

$\int xarctgxdx=\begin{vmatrix}f=arctgx\Rightarrow f'=\frac{1}{x^2+1}\\ g'=x\Rightarrow g=\frac{x^2}{2}\end{vmatrix}=\frac{1}{2}x^2arctgx-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x^2+1}dx=\\=\frac{1}{2}x^2arctgx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}-\frac{1}{2}\int dx=\frac{1}{2}\left ( \left ( x^2+1 \right )arctgx-x \right )+C$