Question

Решите биквадратные уравнения

(x^2–16x)^2-2( x^2–16x)–63=0

(2x^2+3x)^2-7(2x^2+3x)+10=0

Answer 1

1.

$(x^2-16x)^2-2( x^2-16x)-63=0$

Замена:

$(x^2-16x)=t$

Получаем обычное квадратное  уравнение:

$t^2-2t-63=0$

$D=4-4*1*(-63)=4+252=256=16^2$

$t_1=\frac{2-16}{2}=-7$

             $t_1=-7$

$t_2=\frac{2+16}{2}=9$

            $t_2=9$

Обратная замена:

1) При   $t_1=-7$  получаем:  

  $(x^2-16x)=-7$

   $x^{2} -16x+7=0$

$D=256-4*1*7=256-28=228=(2\sqrt{57})^2$

  $x_1=\frac{16-2\sqrt{57} }{2}=8-\sqrt{57}$

                    $x_1=8-\sqrt{57}$

 $x_2=\frac{16+2\sqrt{57} }{2}=8+\sqrt{57}$

                    $x_2=8+\sqrt{57}$

2)  При  $t_2=9$  получаем:  

    $x^{2} -16x=9$

    $x^{2} -16x-9=0$

$D=256-4*1*(-9)=256+36=292=(2\sqrt{73})^2$

   $x_3=\frac{16-2\sqrt{73} }{2}= 8-\sqrt{73}$

   $x_4=\frac{16+2\sqrt{73} }{2}= 8+\sqrt{73}$

Ответ:  {$8-\sqrt{73};$   $8-\sqrt{57};$    $8+\sqrt{57};$    $8+\sqrt{73}$}

2.

$(2x^2+3x)^2-7(2x^2+3x)+10=0$

$2x^2+3x=t$

$t^2-7t+10=0$

$D=49-4*1*10=49-40=9=3^2$

 $t_{1}=\frac{7-3}{2}=2$

           $t_{1}=2$

$t_{2}=\frac{7+3}{2}=5$

         $t_{2}=5$

1)   При $t_{1}=2$

$2x^2+3x=2$

$2x^2+3x-2=0$

$D=9-4*2*(-2)=9+16=25=5^2$

$x_1=\frac{-3-5}{2*2}=-2$

          $x_1=-2$

$x_2=\frac{-3+5}{2*2}=\frac{1}{2}=0,5$

          $x_2=0,5$

2)   При  $t_2=5$

$2x^2+3x=5$

$2x^2+3x-5=0$

$D=9-4*2*(-5)=9+40=49=7^2$

$x_{3}=\frac{-3-7}{2*2}=\frac{-10}{4}=-2,5$

              $x_{3}=-2,5$

$x_{4}=\frac{-3+7}{2*2}=\frac{4}{4}=1$

              $x_{4}=1$        

Ответ:  {-2,5;    -2;   0,5;   1}