Question

Висоти ME i NF трикутника MKN перетинаються в точці О,
OM = ON, MF = КЕ. Доведіть, що трикутник MKN рівно-
сторонній.

Answer 1

Дано:

∆MKN. ME - висота (ME ┴ KN). FN - висота (FN ┴ MK).

ME ∩ FN = 0. OM = ON; MF = KE.

Довести: ∆MNK - рівносторонній.

Доведения:

Розглянемо ∆MOF i ∆NOE.

За умовою NF - висота (NF ┴ MK); ∟NFM = 90° i MЕ - висота; ∟MEN = 90°.

1) ∟MFO = ∟NEO = 90°;

2) ∟MOF = ∟NOE (вертикальні);

3) ОМ = ON.

За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆MFO = ∆NEO.

Звідси MF = EN.

За умовою MF = KE i MF = EN, тобто KE = EN.

За умовою ME - висота. Тоді AMKN - рівнобедрений, MK = MN.

Розглянемо ∆MFN i ∆NEM:

1) ∟MFN = ∟MЕN = 90°;

2) MF = EN;

3) MN - спільна сторона.

Тому ∆MFN = ∆NEM. Звідси ∟FMN = ∟MNE.

Отже, ∆MKN - рівнобедрений. MK = KN. Якщо MK = MN i MK = KN.

Тому ∆ABC - рівносторонній.

Доведено.