Question

СРОЧНО
Докажите, что что если a ≥ 0, b≥ 0, то
a^3 + b^3 ≥ a^2b + ab^2

Answer 1

$a^3 + b^3\geq a^2b + ab^2$

$a^3-a^2b-ab^2 + b^3\geq 0$

$a^2(a-b)-b^2(a- b)\geq 0$

$(a-b)(a^2-b^2)\geq 0$

$(a-b)(a-b)(a+b)\geq 0$

$(a-b)^2(a+b)\geq 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Первая скобка неотрицательна, так как квадрат любого числа неотрицателен. Вторая скобка неотрицательна, так как по условию неотрицательны значения a и b, а значит неотрицательна и их сумма. Значит, произведение двух скобок неотрицательно. Доказано.