Question

В правильной треугольной пирамиде апофема равна L и образует с высотой пирамиды угол a. Найдите объем пирамиды

Answer 1

ОН=H - высота пирамиды.
Из прямоугольного треугольника ODM:
H=L*Cosα.
OM=L*Sinα - это 1/3 высоты основания пирамиды, так как
в правильном треугольнике высота=медиана и делится центром О
в отношении 2:1, считая от вершины.
Тогда АМ=h=3L*Sinα - высота основания.
h=(√3/2)*a - формула высоты правильного треугольника. Тогда
a=2h/√3=2*3*L*Sinα/√3=2*√3*L*Sinα.
Площадь правильного треугольника (формула)
So=(√3/4)*a² = (√3/4)*4*3*L²*Sin²α.
Объем пирамиды
V=(1/3)*So*H=(1/3)*(√3/4)*4*3*L²*Sin²α*L*Cosα.
V=√3*L³*Sin²α*Cosα.