На окружности с центром в точке O по порядку отмечены 4 точки: A, E, I, M. Найди периметр получившегося четырёхугольника, если AI=EM,AM⊥EA, радиус этой окружности 26 см, а AE=20 см.
Ответы
Ответ:
Периметр четырехугольника AEIM равен 136 см.
Объяснение:
Требуется найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на окружности.
Дано: окружность с центром в т.O; радиус окружности R = 26 см; т.A,E,I,M ∈ окружности; AM ⊥ EA; AI = EM; AE = 20 см.
Найти: периметр четырехугольника.
Решение.
Точки A, E, I, M лежат на окружности и образуют вписанный в окружность четырехугольник AEIM.
1) Если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр.
∠MAE вписанный в окружность (т. A лежит на окружности, MA и EA хорды этой окружности),
По условию AM ⊥ EA. ∠MAE = 90°, ⇒ EM - диаметр окружности.
По условию AI = EM, тогда AI также является диаметром окружности.
Диагонали четырехугольника AEIM являются диаметрами. А их длина равна удвоенной длине радиуса:
AI = ME = 26 см · 2 = 52 см.
2) Докажем, что четырехугольник AEIM является прямоугольником.
Если вписанный угол опирается на диаметр, то он прямой (его градусная мера равна 90°).
Остальные углы четырехугольника:
∠AEI = 90°, опирается на диаметр AI;
∠EIM = 90°, опирается на диаметр ME;
∠AMI = 90°, опирается на диаметр AI.
⇒ Четырехугольник AEIM является прямоугольником.
3) Найдем стороны четырехугольника.
По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В прямоугольном ΔMAE ∠A = 90°, гипотенуза ME = 52 см, катет AE = 20 см(по условию). По т. Пифагора найдем катет MA.
MA² = ME² - AE² = 52² - 20² = 2704 - 400 = 2304 = 48².
MA = 48 см.
4) Найдем периметр четырехугольника AEIM.
В прямоугольнике противоположные стороны равны.
В четырехугольник AEIM:
MA = EI = 48 см.
AE = MI = 20 см.
Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон.
P = 2(MA + AE) = 2(48 + 20) = 2·68 = 136 (см).
Таким образом, периметр четырехугольника AEIM равен 136 см.
