Question

На окружности с центром в точке O по порядку отмечены 4 точки: A, E, I, M. Найди периметр получившегося четырёхугольника, если AI=EM,AM⊥EA, радиус этой окружности 26 см, а AE=20 см.

Answer 1

Ответ:

Периметр четырехугольника AEIM равен 136 см.

Объяснение:

Требуется найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на окружности.

Дано:   окружность с центром в т.O; радиус окружности R = 26 см; т.A,E,I,M ∈ окружности; AM ⊥ EA; AI =  EM; AE = 20 см.

Найти: периметр четырехугольника.

Решение.

Точки A, E, I, M лежат на окружности и образуют вписанный в окружность четырехугольник AEIM.

1) Если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр.

∠MAE вписанный в окружность (т. A лежит на окружности, MA и EA хорды этой окружности),

По условию AM ⊥ EA.  ∠MAE = 90°, ⇒ EM - диаметр окружности.

По условию AI = EM, тогда AI также является диаметром окружности.

Диагонали четырехугольника AEIM являются диаметрами. А их длина равна удвоенной длине радиуса:

AI = ME = 26 см · 2 = 52 см.

2) Докажем, что четырехугольник AEIM является прямоугольником.

Если вписанный угол опирается на диаметр, то он прямой (его градусная мера равна 90°).

Остальные углы четырехугольника:  

∠AEI = 90°, опирается на диаметр AI;

∠EIM = 90°, опирается на диаметр ME;

∠AMI = 90°, опирается на диаметр AI.

⇒ Четырехугольник AEIM является прямоугольником.

3) Найдем стороны четырехугольника.

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В прямоугольном ΔMAE ∠A = 90°, гипотенуза ME = 52 см, катет AE = 20 см(по условию). По т. Пифагора найдем катет MA.

MA² = ME² - AE² = 52² - 20² = 2704 - 400 = 2304 = 48².

MA = 48 см.

4) Найдем периметр четырехугольника AEIM.

В прямоугольнике противоположные стороны равны.

В четырехугольник AEIM:
MA = EI = 48 см.

AE = MI = 20 см.

Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон.

P = 2(MA + AE)  = 2(48 + 20) = 2·68 = 136 (см).
Таким образом, периметр четырехугольника AEIM равен 136 см.