Question

Найти интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен.
(Даю хорошие баллы. Если можно, пожалуйста без лишнего)
$∫\frac{x}{{2x}^{2} - 4x + 10 } dx$​

Answer 1

Делаем в числителе производную знаменателя:

$(2 {x}^{2} - 4x + 10) '= 4x - 4$

$\frac{1}{4} \int\limits \frac{4xdx}{2 {x}^{2} - 4x + 10} = \frac{1}{4} \int\limits \frac{4x - 4 + 4}{2 {x}^{2} - 4x + 10 } dx = \\ = \frac{1}{4} (\int\limits \frac{4x - 4}{2 {x}^{2} - 4x + 10 } dx + \int\limits \frac{4dx}{2 {x}^{2} - 4x + 10 } )$

В первом интеграле 4х-4 заносим в дифференциал, во втором выделяем в знаменателе квадрат разности

$\frac{1}{4} \int\limits \frac{d(2 {x}^{2} - 4x + 10)}{2 {x}^{2 } - 4x + 10} + \frac{4}{4} \int\limits \frac{dx}{2( {x}^{2} - 2x + 5) } = \\ = \frac{1}{4} ln(2 {x}^{2} - 4x + 10) + \frac{1}{2} \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} - 2 \times x \times 1 + 1 + 4 } = \\ = \frac{1}{4} ln( 2{x}^{2} - 4x + 10) + \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(x - 1)}{ {(x - 1)}^{2} + {2}^{2} } = \\ = \frac{1}{4} ln(2 {x}^{2} - 4x + 10) + \frac{1}{2 \times 2} arctg( \frac{x - 1}{2}) + C = \\ = \frac{1}{4} ln(2 {x}^{2} - 4x + 10 ) + \frac{1}{4} acrctg( \frac{x - 1}{2}) + C$