Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО
Ваня играет в компьютерную игру.Он начинает с 0 очков,а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 10000 очков.После первой минуты игры добавляется 2 очка,после второй 4 очка,после третьей 8 очков и так далее.Таким образом,после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается.Через сколько минут Ваня перейдёт на следующий уровень?

Answer 1

Ответ:

Через 13 минут Ваня перейдет на следующий уровень.

Объяснение:

Так как на каждой минуте количество очков удваивается и добавляется к имеющимся очкам, то мы имеем дело с геометрической прогрессией и ее суммой.

Общий член геометрической прогрессии:

$\displaystyle b_{n} = b_{1} \cdot q^{n-1}.$

Сумма n членов геометрической прогрессии

$\displaystyle S_{n} = \frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q}.$

После первой минуты игры добавилось 2 очка. Значит b₁ = 2. На каждой минуте очки удваиваются. Тогда знаменатель геометрической прогрессии q = 2.

Для того, чтобы перейти на следующий уровень, требуется не меньше 10000 очков. То есть сумма всех очков Sₙ ≥ 10000, где n - номер члена геометрической прогрессии, число минут, целое число.

$\displaystyle S_{n} = \frac{2(1-2^{n})}{1-2} \geq 10\;000;\\\\\frac{2(1-2^{n})}{-1} \geq 10\;000; \;\;\;\;\frac{2(2^{n}-1)}{1} \geq 10\;000;\\\\ 2(2^{n}-1)\geq 10\;000;\;\;\;\;\;2^{n}-1\geq 5000;\\\\2^{n}\geq 4999.$

Мы можем прологарифмировать полученное показательное уравнение по основанию 2. С учетом того, что основание 2 > 1:

$\displaystyle \log_{2}2^{n} \geq \log_{2}4999;\\\\n \log_{2}2 \geq \log_{2}4999;\\\\n \geq \log_{2}4999;$

Примерное значение логарифма $\displaystyle \log_{2}4999 \approx 12,29$ ,  n целое число.

$\displaystyle n \geq 12,29\;\; \Rightarrow n = 13.$

Или можем оценить величину n так, что 2ⁿ ≥ 4999.

2¹⁰ = 1024 (помним из информатики);

2¹² = 1024 · 2 · 2 = 4096 (это меньше 4999, не подходит);

2¹³ = 4096 · 2 = 8192 (это больше 4999, нам подходит).

Через 13 минут Ваня перейдет на следующий уровень, количество очков в игре будет больше 10 000.