Question

Найти частное решение дифференциального уравнения
y| ctg x + y = 2
удовлетворяющее условию y(0)=1.

Answer 1

Ответ:

разделим на ctgx

$y '+ \frac{y}{ctgx} = \frac{2}{ctgx} \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ u'v + v'u + \frac{uv}{ctgx} = \frac{2}{ctgx} \\ u'v + u(v' + \frac{v}{ctgx} ) = 2tgx \\ \\ 1)v' + vtgx = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - vtgx \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx \\ ln(v) = \int\limits \frac{d \cos(x) }{ \cos(x) } \\ ln(v) = ln( \cos(x) ) \\ v = \cos(x) \\ \\ 2)u'v = 2tgx \\ \frac{du}{dx} \times \cos(x) = 2tgx \\ \int\limits \: du = \int\limits \frac{1}{ \cos(x) } \times \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx \\ u = - \int\limits \cos {}^{ - 2} (x) d( \cos(x)) \\ u = - \frac{ {( \cos(x)) }^{ - 1} }{ ( - 1)} + C\\ u = \frac{1}{ \cos(x) } + C\\ \\ y = \cos(x) \times ( \frac{1}{ \cos(x) } + C) \\ y = 1 + C \cos(x)$

общее решение