Question

Найти частные производные второго порядка функций
1) z=x²+3xy
2) z=x²-2xy-y²
3) z=x³+3x²y-y³

Answer 1

Ответ:

1)

$\frac{d^2z}{dx^2}=2\\ \frac{d^2z}{dy^2}=0\\\frac{d^2z}{dxdy}=3\\ \frac{d^2z}{dydx}=3$      

2)

 $\frac{d^2z}{dx^2}=2\\\frac{d^2z}{dy^2}=-2\\\frac{d^2z}{dxdy}=-2\\\frac{d^2z}{dydx}=-2$

3)

$\frac{d^2z}{dx^2}=6x+6y\\ \frac{d^2z}{dy^2}=-6y\\\frac{d^2z}{dxdy}=6x\\ \frac{d^2z}{dydx}=6x$        

Объяснение:

1) $z=x^2+3xy$

$\fbox{x^n=nx^{n-1}}$$(x^n)'=nx^{n-1}$

Найдем сначала частные производные первого порядка:

$\frac{dz}{dx}= (x^2+3xy)'_x=2x+3y\\\frac{dz}{dy}= (x^2+3xy)'_y=3x$

Теперь найдем частные производные второго порядка:

$\frac{d^2z}{dx^2}=(2x+3y)'_x=2\\ \frac{d^2z}{dy^2}=(3x)'_y=0\\\frac{d^2z}{dxdy}=(2x+3y)'_y=3\\ \frac{d^2z}{dydx}=(3x)'_x=3$

Видим, что $\frac{d^2z}{dxdy} =\frac{d^2z}{dydx}=3$

То есть смешанные частные производные равны.

2) $z=x^2-2xy-y^2$

Найдем сначала частные производные первого порядка:

$\frac{dz}{dx}=(x^2-2xy-y^2)'_x=2x-2y \\\frac{dz}{dy}=(x^2-2xy-y^2)'_y=-2x-2y$

Теперь найдем частные производные второго порядка:$\frac{d^2z}{dx^2}=( 2x-2y)'_x=2\\\frac{d^2z}{dy^2}=( -2x-2y)'_y=-2\\\frac{d^2z}{dxdy}=( 2x-2y)'_y=-2\\\frac{d^2z}{dydx}=( -2x-2y)'_x=-2$

3) $z=x^3+3x^2y-y^3$

Найдем сначала частные производные первого порядка:

$\frac{dz}{dx}=( x^3+3x^2y-y^3)'_x=3x^2+6xy\\\frac{dz}{dy}=( x^3+3x^2y-y^3)'_y=3x^2-3y^2$

Теперь найдем частные производные второго порядка:$\frac{d^2z}{dx^2}=(3x^2+6xy)'_x=6x+6y\\ \frac{d^2z}{dy^2}=(3x^2-3y^2)'_y=-6y\\\frac{d^2z}{dxdy}=(3x^2+6xy)'_y=6x\\ \frac{d^2z}{dydx}=(3x^2-3y^2)'_x=6x$