Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 6, на ребре AA1 взята точка М так, что AM:МА1=1/2. На ребре D1C1 взята точка N так, что D1N:NC1=1/2.
а) Докажите, что прямые MB1 и CN перпендикулярны.
б) найдите расстояние от точки М до прямой CN

Answer 1

Проведем плоскость (MB1C1).

(MB1C1) пересекает DD1 в точке K.

CN и KC1 пересекаются в точке H.

Следы в параллельных гранях - параллельны.

MK||B1C1, MB1||KC1

а)

MK||AD, KD1=MA1=NC1 =2/3 *6 =4

△C1KD1=△CNC1 (по двум катетам) => ∠C1KD1=∠CNC1

∠C1KD1 +∠D1C1K =90 => ∠CNC1 +∠D1C1K =90 => ∠C1HN =90

KC1⊥CN => MB1⊥CN

б)

B1C1⊥(CC1D1) => B1C1⊥CN

CN⊥B1C1, CN⊥KC1 => CN⊥(MB1C1) => CN⊥MH

MH - искомое расстояние

C1K =√(C1D1^2 +KD1^2) =√(6^2 +4^2) =2√13

△C1NH~△C1KD1 => C1N/C1K =C1H/C1D1 => 4/2√13 =C1H/6 => C1H =12/√13

KH =C1K -C1H =2√13 -12/√13 =14/√13

MH =√(MK^2 +KH^2) =√(6^2 +14^2/13) =2√(166/13)