Question

1)найти производную элементарных функций
2)исследовать функцию на экстремум
3) найти наибольшую и наименьшую значение функции

Answer 1

1.

$( \sqrt{x} (2 \sqrt{x} - 3)) ' = ( 2 \sqrt{x} \times \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} ) '= \\ = (2x - 3 \sqrt{x} ) '= \\ = 2 - 3 \times \frac{1}{2} {x}^{ - \frac{1}{2} } = 2 - \frac{3}{2 \sqrt{x} }$

$( \frac{1 + {x}^{2} }{3x} ) '= \frac{(1 + {x}^{2})' \times 3x - (3x) '\times (1 + {x}^{2} ) }{ {(3x)}^{2} } = \\ = \frac{2x \times 3x - 3(1 + {x}^{2}) }{9 {x}^{2} } = \\ = \frac{6 {x}^{2} - 3 - 3 {x}^{2} }{9 {x}^{2} } = \frac{3 {x}^{2} - 3}{9 {x}^{2} } = \frac{ {x}^{2} - 1 }{3 {x}^{2} }$

2.

$y = {x}^{3} - 3 {x}^{2} \\ y' = 3 {x}^{2} - 6x \\ \\ 3 {x}^{2} - 6x = 0 \\ 3x(x - 2) = 0 \\ x1 = 0 \\ x2 = 2 \\ \\ znaki \\ \\ + \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \\ - - - - 0 - - - 2 - - - >$

Ответ: 0 и 2 - экстремумы

3.

$f(x) = \frac{1}{3} {x}^{3} + {x}^{2} - 3x - 4 \\ f'(x) = {x}^{2} + 2x - 3 \\ \\ {x}^{2} + 2x - 3 = 0 \\ d = 4 + 12 = 16 \\ x1 = \frac{ - 2 + 4}{2} = 1 \\ x2 = - 3 \\ \\ znaki \\ + \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \\ - - - ( - 3) - - - 1 - - - >$

-3 - точка максимума

1 - точка минимума

проверим эти значения, а заодно границы промежутка, подставиив в функцию

$f(x) = \frac{ {x}^{3} }{3} + {x}^{2} - 3x - 4 \\ f( - 4) = - \frac{64}{3} +16 + 12 - 4 = \\ = - \frac{64}{3} + 24 = \frac{72 - 64}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \\ f( - 3) = - 9 + 9 + 9 - 4 = 5 \\ f(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 4 = \frac{1}{3} - 6 = - 5 \frac{2}{3} \\ f(2) = \frac{8}{3} + 4 - 6 - 4 = 2\frac{2}{3} - 6 = - 3 \frac{1}{3}$

получаем

5 - максимальное значение

-5 2/3 - минимальное