Question

№169 (б)
докажите, что
$sqrt{x+2 sqrt{x-1} } + sqrt{x-2 sqrt{x-1} } = 2$   при 1$leq x leq$2   и равно $2sqrt{x-1}$    при x>2

Answer 1

$sqrt{x+2sqrt{x-1}}+sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2\ (sqrt{x+2sqrt{x-1}}+sqrt{x-2sqrt{x-1}})^2=4\ 2x+2sqrt{x^2-4x+4}=4\ x+sqrt{x^2-4x+4}=2\ x+sqrt{(x-2)^2}=2\ x+|x-2|=2\ 1 leq x leq 2$
верно  при $1 leq x leq 2$

$sqrt{x+2sqrt{x-1}}+sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2sqrt{x-1}\ x+2sqrt{x-1}+x-2sqrt{x-1}+2sqrt{x^2-4(x-1)}=4(x-1)\ 2x+2sqrt{x^2-4x+4}=4(x-1)\ x+sqrt{x^2-4x+4}=2(x-1)\ x+|x-2|=2x-2\ x>2\ 2x-2=2x-2$
верно !