Question

Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на отрезки 6см и 10 см. Найди радиус окружности, которая проходит через вершину острого угла, из которого проведена биссектриса, вершину прямого угла пересечения биссектрисы острого угла, с противолежащим этому углу катетом

Answer 1

Ответ:

$3 \sqrt{5} cm$

Объяснение:

АМ- биссектриса угла А. АМ- диаметр окружности, которая проходит через вершину острого угла, из которого проведена биссектриса, вершину прямого угла и пересечения биссектрисы острого угла, с противолежащим этому углу катетом.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон:

$\frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} \\ \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$

АС=3х, АВ=5х, ВС=6+10=16см

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора найдём гипотенузу AB:

${AC}^{2} + {BC}^{2} = {AB}^{2} \\ 9 {x}^{2} + {16}^{2} = 25 {x}^{2} \\ 16 {x}^{2} = 256 \\ {x}^{2} = 16 \\ x = 4$

Таким образом, АС=3×х=3×4=12 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСМ. По теореме Пифагора найдём гипотезу АМ:

${AM}^{2} = {AC}^{2} + {CM}^{2} = {12}^{2} + {6}^{2} = 144 + 36 = 180 \\ AM = 6 \sqrt{5}$

так как радиус равен половине диаметра то радиус окружности равен:

$r = \dfrac{1}{2} AM = \dfrac{1}{2} \times 6 \sqrt{5} = 3 \sqrt{5}$см