Question

Докажите равенство
cos$frac{ pi }{7}$cos$frac{4 pi }{7}$cos$frac{5 pi }{7}$=$frac{1}{8}$

Answer 1

Нестандартное доказательство 
Как  известно по теореме Виета для кубического уравнения для корней справедливо такое соотношение , если $x_{1};x_{2};x_{3}\ x_{1}*x_{2}*x_{3}=frac{a}{d}$
где уравнение 
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
то есть нам надо что бы числа $x_{1}=cosfrac{pi}{7}\ x_{2}=cosfrac{4pi}{7}\ x_{3}=cosfrac{5pi}{7}$  были корнями  уравнения ! 
воспользуемся тем что 
$cosfrac{pi}{7}=-cosfrac{6pi}{7}$
разложим левую часть в такой вид 
$cosfrac{pi}{7}=sin^6frac{pi}{7}-cos^6frac{pi}{7}$$+15sin^2frac{pi}{7}*cos^4frac{pi}{7}-15sin^4frac{pi}{7}*cos^2frac{pi}{7}$
преобразуем его в такой вид 
$cosfrac{pi}{7}=(1-cos^2frac{pi}{7})^3-cos^6frac{pi}{7}+$$15(1-cos^2frac{pi}{7})*cos^4frac{pi}{7}-15(1-cos^2frac{pi}{7})^2*cos^2frac{pi}{7}$
теперь положим $cosfrac{pi}{7}=x$ получим уравнение 
$(1-x^2)^3-x^6+15(1-x^2)*x^4-15(1-x^2)^2*x^2-x=$
она равна   
$(1-x)(4x^2-2x-1)(8x^3-4x^2-4x+1)=0\ 8x^3-4x^2-4x+1=0$
теперь корни это кубического уравнения будут числа 
$-cosfrac{4pi}{7}$ 
$cosfrac{pi}{7}$
$cosfrac{5pi}{7}$
и как ранее было сказано достаточно поделить  
$cosfrac{pi}{7}*cosfrac{4pi}{7}*cosfrac{5pi}{7}=frac{1}{8}$