Question

Как решить следующее дифференциальное уравнение?) y'(x+√x) = √(1-y)

Answer 1

Ответ:

$y'(x + \sqrt{x} ) = \sqrt{1 - y} \\ \frac{dy}{dx} (x + \sqrt{x} ) = \sqrt{1 - y} \\ \int\limits \frac{dy}{1 - y} = \int\limits \frac{dx}{x + \sqrt{x} } \\ \\ 1) \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{1 - y} } = - \int\limits \frac{d( - y)}{ \sqrt{1 - y} } = \\ = - \int\limits {(1 - y)}^{ \frac{1}{2} } d(1 - y) = \\ = - \frac{ {(1 - y)}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = - \frac{2}{3} \sqrt{ {(1 - y)}^{3} } \\ \\ 2) \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{x} + x} \\ \\ \sqrt{x} = t \\ x = {t}^{2} \\ dx = 2tdt \\ \\ \int\limits \frac{2tdt}{ {t}^{2} + t } = \int\limits \frac{2dt}{t + 1} = \\ 2 \int\limits \frac{d(t + 1)}{ t + 1} = 2 ln(t + 1) + C = \\ = 2 ln( \sqrt{x} + 1) + C\\ \\ - \frac{2} {3} \sqrt{ {(1 - y)}^{3} } = 2 ln(1 + \sqrt{x} ) + C \\ \sqrt{ {(1 - y)}^{3} } = - 3 ln( \sqrt{x} + 1 ) + C$

общее решение