Груз массой 60 г подвешен на нити длиной 50 см и совершает колебания в вертикальной плоскости, отклоняясь от положения равновесия на угол, косинус которого равен 0,95. Найдите полную механическую энергию маятника. Ответ выразите в миллиджоулях и запишите в поле ответа без указания единиц. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2.
Ответы
Дано:
m = 60 г = 0,06 кг
L = 50 см = 0,5 м
cosα = 0,95
g = 10 м/с²
E - ?
Решение:
Полная механическая энергия маятника складывается из его потенциальной и кинетической:
E = Ep + Ek
Когда у маятника максимальная скорость (положение равновесия), то его кинетическая энергия является максимальной. Равно как и потенциальная энергия, которой обладает маятник, является максимальной тогда, когда маятник поднимается на максимальную высоту. В обоих случая полная механическая энергия маятника будет равна её максимальной составляющей:
Е = Еp max = Ek max
На рисунке видно то, как можно выразить максимальную высоту. Нить в положении отклонения, нить в положении равновесия и расстояние между ними образуют прямоугольный треугольник. Высота h max равна разности полной длины нити и полной длины нити, уменьшённой на значение, равное значению высоты h max. То есть:
h max = L - (L - h max) - но с этим уравнением ничего не выйдет путного, потому что, раскрыв скобки, мы получим:
h max = L - L + h max
h max = h max
Но если вернуться к треугольнику, то можно увидеть, что уменьшённая на h max длина нити - это прилежащий катет, а полная длина нити - это гипотенуза. Отношение прилежащего катета к гипотенузе - это косинус угла между ними:
(L - h max)/L = cosα => L - h max = L*cosα, тогда:
h max = L - L*cosα = L*(1 - cosα)
Остаётся подставить значение высоты в формулу максимальной потенциальной энергии, которая равна полной механической:
E = Ep max = mg*h max = mg*L(1 - cosα) = 0,06*10*0,5*(1 - 0,95) = 0,6*0,5*0,05 = 0,015 Дж = 15 мДж.
Ответ: 15.
