Question

Алгебра, 8 класс

Пользуясь соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите неравенство: №970(б)

Подробно, пожалуйста :(

Answer 1

$(a+1)(b+1)\geq 4\sqrt{ab}, a>0, b>0\\ab+a+b+1\geq 4\sqrt{ab},\\a+b-4\sqrt{ab}\geq -1-ab,\\a+b-2\sqrt{ab}-2\sqrt{ab}\geq -1-ab,\\(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq -1-ab+2\sqrt{ab},\\(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq -(1-\sqrt{ab})^2,$

$(\sqrt{a}-\sqrt{b}) ^2$ - выражение всегда неотрицательно, $-(1-\sqrt{ab})^2$ - выражение всегда неположительно.

Неравенство доказано.