Question

найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 7cos^2a-5sin^2a

Answer 1

$7\cos^2a-5\sin^2a$

Запишем основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2a+\sin^2a=1$

Выразим из него квадрат како-либо величины, например, синуса:

$\sin^2a=1-\cos^2a$

Подставим получившееся соотношение в наше выражение:

$7\cos^2a-5\sin^2a=7\cos^2a-5(1-\cos^2a)=$

$=7\cos^2a-5+5\cos^2a=12\cos^2a-5$

Вспомним, что косинус принимает значения из отрезка от -1 до 1. Тогда, оценим получившееся выражение:

$-1\leq \cos a\leq 1$

$0\leq \cos^2 a\leq 1$

$12\cdot 0\leq 12\cos^2 a\leq 12\cdot1$

$0\leq 12\cos^2 a\leq 12$

$0-5\leq 12\cos^2 a-5\leq 12-5$

$-5\leq 12\cos^2 a-5\leq 7$

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения найдены:

$\max=7$

$\min=-5$