Question

упростите выражения:
​

Answer 1

Ответ:

1

$\frac{ \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) }{ \tg( \alpha ) } - 1 = \\ = \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) \times \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } - 1 = \\ = { \cos }^{2} \alpha - 1 = - (1 - { \cos }^{2} \alpha ) = \\ = - { \sin}^{2} \alpha$

2

$\frac{ \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) }{ \ctg( \alpha ) } - 1 = \\ = \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) \times \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } - 1 = \\ = { \sin }^{2} \alpha - 1 = - (1 - { \sin }^{2} \alpha ) = - { \cos }^{2} \alpha$

3

$\frac{1}{1 - \cos( \alpha ) } - \frac{1}{1 + \cos( \alpha ) } = \\ = \frac{1 + \cos( \alpha ) - (1 - \cos( \alpha )) }{(1 + \cos( \alpha ) (1 - \cos( \alpha ) ) } = \\ = \frac{1 + \cos( \alpha ) - 1 + \cos( \alpha ) }{1 - { \cos }^{2} \alpha } = \\ = \frac{2 \cos( \alpha ) }{ { \sin }^{2} \alpha } = \frac{2ctg \alpha }{ \sin( \alpha ) }$

4

$\frac{1 + tg \alpha }{1 + ctg \alpha } = \frac{1 + \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } }{1 + \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } } = \\ = \frac{ \sin( \alpha ) + \cos( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } \times \frac{ \sin( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) + \cos( \alpha ) } = \\ = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = tg \alpha$

5

$\frac{1 - ctg \alpha }{1 - tg \alpha } = \frac{1 - \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } }{1 - \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } } = \\ = \frac{ \sin( \alpha ) - \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } \times \frac{ \cos( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) } = \\ = - \frac{ \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } \times \frac{ \cos( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) } = \\ = - \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } = - ctg \alpha$

6

$\frac{tg \alpha - 1}{ctg \alpha - 1} = \frac{ \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } - 1}{ \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } - 1 } = \\ = \frac{ \sin( \alpha ) - \cos( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } \times \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) - \sin( \alpha ) } = \\ = - \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = - tg \alpha$