1. Трапеция АВСД (АД и ВС- основания) расположена вне плоскости альфа. Диагонали трапеции параллельны плоскости. Через вершины А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость альфа в точках Е и Ф соответственно. Докажите, что ЕАВФ- параллелограмм. Постройте рисунок
2. На рисунке 1 плоскости альфа и бета параллельны. Прямая а пересекает плоскости альфа и бета соответственно в точках А и В, а прямая б- в точках С и Д. Каково взаимное положение прямых а и б? Поясните.
3. Дан параллелипипед АВСДА1В1С1Д1, все грани которого- прямоугольники , АД=4, ДС=8, СС1=6. Постройте сечение параллелипипеда плоскостью, проходящей через середину ребра ДС и параллельной плоскости АВ1С1, и найдите периметр сечения.
Ответы
1)
Диагонали трапеции - пересекаются . Поскольку они параллельны плоскости α, следовательно, плоскость, в которой они лежат, параллельна плоскости α, и все стороны трапеции также параллельны плоскости α.
Параллельные прямые ЕА и ВФ задают плоскость. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. ⇒ АВ||ЕФ, АЕ||ВФ по условию ⇒ в четырехугольнике АВФЕ противоположные стороны параллельны. АВФЕ - параллелограмм.
2)
Данная без нужного рисунка задача вполне может остаться без решения.
Прямые, пересекающие параллельные плоскости, могут:
пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися.
Через две параллельные или через две пересекающиеся прямые, можно провести плоскость, притом только одну.
Если две параллельные плоскости (α и β ) пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. И тогда на рисунке в любой проекции они будут параллельны (или совпадут). На данном рисунке АС и DB не параллельны. Следовательно, точки А, С, В и Д не лежат в одной плоскости, а прямые a и b не пересекаются и не параллельны. Они - скрещивающиеся.
3)
Так как все грани параллелепипеда прямоугольники, наклонные В1А и С1Д перпендикулярны АД, и АДС1В1 - прямоугольник.
Пусть точка М - середина СД.
Проведем МК║ДС1, МН║АД и КЕ║||В1С1.
НМ=КЕ ( параллельны и равны равным сторонам равных граней). КМ=КН, параллельны диагоналям параллельных граней и делят ребра СС1 и ВВ1 пополам.
В прямоугольном треугольнике КСМ стороны СМ=8:2=4, КС=6:2=3, треугольник КСМ - египетский и КМ=5
Периметр - сумма длин всех сторон многоугольника.
Р сечения =2•(НМ+КМ)=2•(4+5)=18 (ед. длины)
