Question

В параллелограмма ABCD с площадь 30√3 и углом ABC, равным 120*, проведена диагональ AC. Расстояние от вершины B до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, равно 2. Найдите стороны параллелограмма, если известно, что BC>AB

Answer 1

х - меньшая сторона параллелограмма
у - большая сторона параллелограмма
Площадь параллелограмма  =  произведению его смежных сторон на синус угла между ними
S=х*у*sin120=30√3
Получили уравнение с двумя переменными
x*y=30√3:(√3/2)=60

ΔBК0 = ΔАL0   r = OB*sin 60 = √3
BK = BL = 2*cos 60 = 1 ΔАК0 = ΔАF0   AK = AF= x - 1 ΔCL0 = ΔCF0   CL = CF = y - 1 AC=AF+FC=x-1+y-1=x+y-2

В ΔАВС по теореме косинусов, квадрат стороны = сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними
АС²=х²+у²-2ху*cos 120=x²+y²+xy

Получили второе уравнение с двумя неизвестными
(x+y-2)²=x²+y²+xy
xy-4x-4y+4=0
-4x-4y+64=0
x+y-16=0
xy=60
x²-16x+60=0
x1=6, Y1=10
x2=10,  y2=6