Question

Друзья!!Нужна помощь!!!

Answer 1

6. (Начальных условий нет на фотографии)

а)

$xy\,d{x}=(1+x^2)\,d{y}\bigskip\\\dfrac{x\,d{x}}{1+x^2}=\dfrac{1}{y}\,d{y}\bigskip\\\dfrac{1}{2}\ln\!\big(1+x^2\big)=\ln y +C_{1}\bigskip\\ y=C\sqrt{1+x^2}$

б)

$(3x^2-2x)\,d{x}-d{y}=0\iff d{(x^3-x^2-y)}=0\iff y=x^3-x^2+C$

7.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5n-4}{3^n}$

Данный знакоположительный ряд мажорируется рядом с общим членом $b_n=\dfrac{5n}{3^n}$

Используя радикальный признак Коши, исследуем этот ряд:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{5^{\frac{1}{n}}\cdot n^{\frac{1}{n}}}{3}=\dfrac{1}{3}< 1\implies \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\to$ , т.е. ряд сходится.

Таким образом, изначальный ряд также сходится  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5n-4}{3^n}\to$