Question

Вычисление производных и дифференциалов высших порядков. Распишите подробно пожалуйста. Даю 100 баллов за хороший ответ!

Answer 1

$1)\ \ y=3x^4-5x^3+2x^2-x\ \ ,\ \ \ y'=12x^3-15x^2+4x-1\ \ ,\\\\y''=36x^2-30x+4\\\\b)\ \ y=(2x+5)^3\ \ \ ,\ \ \ y'=3(2x+5)^2\cdot 2=6(2x+5)^2\ \ ,\\\\y''=12(2x+5)\cdot 2=24(2x+5)\\\\c)\ \ y=\dfrac{1}{x-1}\ ,\ \ \ y'=-\dfrac{1}{(x-1)^2}\ \ ,\ \ y''=-\dfrac{-2(x-1)}{(x-1)^4}=\dfrac{2}{(x-1)^3}\\\\d)\ \ y'=-\dfrac{22}{x+5}\ \ ,\ \ y'=-\dfrac{-22}{(x+5)^2}\ \ ,\ \ y''=-\dfrac{22\cdot 2(x+5)}{(x+5)^4}=-\dfrac{44}{(x+5)^3}$

$e)\ \ y=cos^2x\ \ ,\ \ y'=2\, cosx\cdot (-sinx)=-sin2x\ ,\ y''=-cos2x\cdot 2=-2\, cos2x\\\\f)\ \ y=e^{-x^2}\ ,\ \ y'=e^{-x^2}\cdot (-2x)=-2x\cdot e^{-x^2}\\\\y''=-2e^{-x^2}-2x\cdot (-2xe^{-x^2})=-2e^{-x^2}\cdot (1+2x^2)\\\\g)\ \ y=5^{\sqrt{x}}\ \ ,\ \ y'=5^{\sqrt{x}}\cdot ln5\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5^{\sqrt{x}}\cdot ln5}{2\sqrt{x}}$

$y''=\dfrac{ln5}{2}\cdot \dfrac{5^{\sqrt{x}}\cdot ln5\cdot \sqrt{x} -5^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\dfrac{ln5}{4}\cdot \dfrac{x\cdot 5^{\sqrt{x}}\cdot 2\, ln5-5^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x^3}}\\\\\\h)\ \ y=x\cdot sin2x\ \ ,\ \ y'=sin2x+2x\cdot cos2x\ \ ,\\\\y''=2\, cos2x+2\, cos2x-4x\cdot sin2x=4\, cos2x-4x\, sin2x$

$2)\ \ y=\dfrac{x}{6(x+1)}\ \ ,\ \ y'=\dfrac{6(x+1)-6x}{36(x+1)^2}=\dfrac{1}{6(x+1)^2}\ \ ,\\\\y''=-\dfrac{12(x+1)}{36(x+1)^4}=-\dfrac{1}{3(x+1)^3}\\\\y'''=\dfrac{9(x+1)^2}{9(x+1)^6}=\dfrac{1}{(x+1)^4}\\\\\\b)\ \ y=(2x+3)^3\cdot \sqrt{2x+3}=(2x+3)^{\frac{7}{2}}\ \ ,\ \ y'=\dfrac{7}{2}\cdot 2\, (2x+3)^{\frac{5}{2}}=7\, (2x+3)^{\frac{5}{2}}\\\\y''=35\, (2x+3)^{\frac{3}{2}}\ \ ,\ \ y'''=105\, (2x+3)^{\frac{1}{2}}=105\, \sqrt{2x+3}$

$3)\ \ y=2x^3+5x^2\ \ ,\ \ dy=(6x^2+10x)\, dx\ \ ,\\\\d^2y=(12x+10)\, dx^2\ \ ,\ \ d^3y=12\, dx^3\\\\b)\ \ y=e^{t^3}\ \ ,\ \ dy=3t^2\cdot e^{t^3}\, dt\ \ ,\\\\d^2y=(6t\cdot e^{t^3}+9t^4\cdot e^{t^3})\, dt^2=3e^{t^3}\cdot (2t+3t^4)\, dt^2\\\\d^3y=\Big(9t^2\cdot e^{t^3}\cdot (2t+3t^4)+3e^{t^3}\cdot (2+12t^3)\Big)\, dt^3\\\\\\c)\ \ y=x\, (lnx-1)\ \ ,\ \ \ dy=(lnx-1+x\cdot \dfrac{1}{x})\, dx=lnx\, dx\ \ ,\\\\d^2y=\dfrac{1}{x}\, dx^2\ \ ,\ \ d^3y=-\dfrac{1}{x^2}\, dx^3$