Question

3.1.14 решить линейное дифференциальное уравнение пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$y '- \frac{y}{x} = - \frac{12}{ {x}^ {3} }$

замена:

$y = uv \\ y = u'v + v'u$

$u'v + v'u - \frac{uv}{x} = - \frac{12}{ {x}^{3} } \\ u'v + u(v '- \frac{v}{x} ) = - \frac{12}{ {x}^{3} } \\ \\ 1)v '- \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = ln(x) \\ v = x \\ \\ 2)u'v = - \frac{12}{ {x}^{3} } \\ \frac{du}{dx} \times x = - \frac{12}{ {x}^{3} } \\ \int\limits \: du = \int\limits- \frac{12}{ {x}^{4} } dx \\ u = - 12 \times \frac{ {x}^{ - 3} }{( - 3)} + C \\ u = \frac{4}{ {x}^{3} } + C \\ \\ y = uv = x( \frac{4}{ {x}^{3} } + C) \\ y = \frac{4}{ {x}^{2} } + \frac{C}{ {x}^{3} }$

общее решение

$y(1) = 4$

$4 = 4 + C \\ C= 0$

$y = \frac{4}{ {x}^{2} }$

частное решение