Question

Помогите ! ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ,Срочно!

Answer 1

Ответ: y=1/6*x³-1/4*x²-1/4*x-5/8*e^(-2*x)+5/8.

Пошаговое объяснение:

Так как данное ДУ не содержит y, то полагаем y'=z. Тогда y"=z' и уравнение примет вид: z'+2*z=x²-1, или z'+2*z-x²+1=0. Это - ЛДУ 1 порядка, полагаем z=u*v. Тогда z'=u'*v+u*v' и это уравнение перепишется в виде: u'*v+u*v'+2*u*v-x²+1=0, или v*(u'+2*u)+u*v'-x²+1=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то поступим так с u и потребуем выполнения условия u'+2*u=0. Решая это однородное ДУ, находим u=e^(-2*x). Возвращаясь к уравнению u*v'=x²-1 и подставляя в его найденную функцию u, получаем уравнение v'=dv/dx=x²*e^(2*x)-e^(2*x). Отсюда dv=x²e^(2*x)*dx-e^(2*x)*dx, и интегрируя обе части, находим v=1/2*x²*e^(2*x)-1/2*x*e^(2*x)-1/4*e^(2*x)+C1, где C1 - произвольная постоянная. Тогда z=u*v=dy/dx=1/2*x²-1/2*x-1/4+C1*e^(-2*x). Отсюда y=∫z*dx=1/6*x³-1/4*x²-1/4*x-1/2*C1*e^(-2*x)+C2, где C2 - также произвольная постоянная. Тогда y'=z=1/2*x²-1/2*x-1/4+C1*e^(-2*x), и, используя условия y(0)=0 и y'(0)=1,  получаем систему уравнений:

-1/2*C1+C2=0

-1/4+C1=1

Решая её, находим C1=5/4 и C2=5/8. Тогда искомое частное решение таково: y=1/6*x³-1/4*x²-1/4*x-5/8*e^(-2*x)+5/8. Проверка: y'=1/2*x²-1/2*x-1/4+5/4*e^(-2*x), y"=x-1/2-10/4*e^(-2*x), y"+y=x²-1  -решение удовлетворяет дифференциальному уравнению. А так как y(0)=0 и y'(0)=1, то решение удовлетворяет и условиям.