Question

Найдите все пары натуральных x и y таких, что xy−3x+2y=12. В качестве ответа введите все возможные значения x.

Answer 1

Ответ:

(x; y) ∈ {(1; 5), (4; 4)}

Объяснение:

По условию нужно найти все пары натуральных x и y таких, которые удовлетворяют уравнению

x·y−3·x+2·y=12.  

Преобразуем последнее уравнение:

x·(y−3)=12−2·y

 x·(y−3)=2·(6−y)

$\tt x=\dfrac{2 \cdot (6-y)}{y-3} =\dfrac{2 \cdot (3+3-y)}{y-3} =\dfrac{6+2 \cdot (3-y)}{y-3} =\\\\=\dfrac{6-2 \cdot (y-3)}{y-3} =\dfrac{6}{y-3}-2.$

Из представления x и из условия x∈N и y∈N заключаем, что y−3 является делителем числа 6 и

$\tt \dfrac{6}{y-3}-2>0.$

Сначала решаем последнее неравенство:

$\tt \dfrac{6}{y-3}-2>0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{y-3}-1>0 \Leftrightarrow \dfrac{3-y+3}{y-3}>0 \Leftrightarrow \dfrac{y-6}{y-3}<0 \Leftrightarrow y \in (3; \;6).$

Среди чисел (3; 6) целыми числами являются только 4 и 5. Подставляем эти значения в выражение для x :

$\tt y=4 \Rightarrow x=\dfrac{6}{4-3}-2=6-2=4;\\\\y=5 \Rightarrow x=\dfrac{6}{5-3}-2=3-2=1.$