Question

Помогите решить пожалуйста, срочно !!!!!!! Даю 60

Answer 1

1. Определите знаки тригонометрических функций для углов.

Для начала определимся со знаками тригонометрических функций по четвертям.

$I.\ \ \ \ \ \ \ 0<\alpha <90^\circ;\ \ \ \sin\alpha (+);\ \cos\alpha (+);\ tg\,\alpha (+);\ ctg\,\alpha (+);\\II.\ \ \ 90^\circ<\alpha <180^\circ;\ \,\sin\alpha (+);\ \cos\alpha (-);\ tg\,\alpha (-);\ ctg\,\alpha (-);\\III.\ 180^\circ<\alpha <270^\circ;\ \sin\alpha (-);\ \cos\alpha (-);\ tg\,\alpha (+);\ ctg\,\alpha (+);\\IV.\ \ 270^\circ<\alpha <360^\circ;\ \sin\alpha (-);\ \cos\alpha (+);\ tg\,\alpha (-);\ ctg\,\alpha (-).$

Чтобы определить, углом какой четверти является заданный угол, можно добавлять или отнимать 360° до тех пор, пока значение угла не станет в пределах от 0° до 360°.

В скобках записаны знаки тригонометрических функций.

$-89^\circ;\ \ -89^\circ+360^\circ=271^\circ;\ \ \ \ \ IV\\\sin(-89^\circ)=\sin 271^\circ(-);\ \ \cos(-89^\circ)=\cos271^\circ(+)\\tg(-89^\circ)=tg\, 271^\circ(-);\ \ ctg\,(-89^\circ)=ctg\,271^\circ(-)$

$294^\circ;\ \ \ \ \ IV\\\sin 294^\circ(-);\ \ \cos294^\circ(+);\ \ tg\, 294^\circ(-);\ \ ctg\,294^\circ(-)\\\\111^\circ;\ \ \ \ \ II\\\sin 111^\circ(+);\ \ \cos111^\circ(-);\ \ tg\, 111^\circ(-);\ \ ctg\,111^\circ(-)$

$-313^\circ;\ \ -313^\circ+360^\circ=47^\circ;\ \ \ \ \ I\\\sin(-313^\circ)=\sin 47^\circ(+);\ \ \cos(-313^\circ)=\cos47^\circ(+)\\tg(-313^\circ)=tg\, 47^\circ(+);\ \ ctg\,(-313^\circ)=ctg\,47^\circ(+)\\\\-145^\circ;\ \ -145^\circ+360^\circ=215^\circ;\ \ \ \ \ III\\\sin(-145^\circ)=\sin 215^\circ(-);\ \ \cos(-145^\circ)=\cos215^\circ(-)\\tg(-145^\circ)=tg\, 215^\circ(+);\ \ ctg\,(-145^\circ)=ctg\,215^\circ(+)$

$152^\circ;\ \ \ \ \ II\\\sin 152^\circ(+);\ \ \cos152^\circ(-);\ \ tg\, 152^\circ(-);\ \ ctg\,152^\circ(-)$

$-280^\circ;\ \ -280^\circ+360^\circ=80^\circ;\ \ \ \ \ I\\\sin(-280^\circ)=\sin 80^\circ(+);\ \ \cos(-280^\circ)=\cos80^\circ(+)\\tg(-280^\circ)=tg\, 80^\circ(+);\ \ ctg\,(-280^\circ)=ctg\,80^\circ(+)$

$355^\circ;\ \ \ \ \ IV\\\sin 355^\circ(-);\ \ \cos355^\circ(+);\ \ tg\, 355^\circ(-);\ \ ctg\,355^\circ(-)$

2. Используем чётность/нечётность тригонометрических функций.

$\sin(-x)=-\sin(x);\ \ \cos(-x)=\cos(x);\\tg\,(-x)=-tg\,(x);\ \ ctg\,(-x)=-ctg\,(x)$

$1)\ 14\sin(-30^\circ)+8\cos(-60^\circ)-17ctg(-90^\circ)=\\=-14\sin30^\circ+8\cos60^\circ+17ctg\,90^\circ=\\=-14\cdot\dfrac 12+8\cdot \dfrac 12+17\cdot 0=-7+4+0=-3\\\\2)\ 20\,tg\,180^\circ-ctg\,45^\circ-9\cos90^\circ=\\=20\cdot 0-1-9\cdot 0=-1$

Ответ: 1) -3;   2) -1.

$3.\ \ \cos\alpha =\dfrac49;\ \ \ \ 270^\circ<\alpha <360^\circ;\ \ \ \ IV$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\\\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha;\ \ \ \ IV\ \ \Rightarrow\ \ \ \sin\alpha <0\\\sin\alpha =-\sqrt{\big1-\cos^2\alpha }=-\sqrt{\big1-\left(\dfrac49\right)^2}=\\\\=-\sqrt{\big1-\dfrac{16}{81}\right}=-\sqrt{\dfrac{65}{81}}=-\dfrac{\sqrt{65}}9$

$tg\,\alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos\alpha }=-\dfrac{\sqrt{65}}9:\dfrac 49=-\dfrac{\sqrt{65}}9\cdot\dfrac 94=-\dfrac{\sqrt{65}}4\\\\ctg\,\alpha =\dfrac1{tg\,\alpha }=1:\left(-\dfrac{\sqrt{65}}4\right)=-\dfrac4{\sqrt{65}}$

Ответ: $\boldsymbol{\sin\alpha =-\dfrac{\sqrt{65}}9;\ tg\,\alpha =-\dfrac{\sqrt{65}}4;\ ctg\,\alpha =-\dfrac4{\sqrt{65}}}.$