Question

Высота конуса равна 3 см, а его объем - 27π см3. Найдите образующую конуса.
(с объяснением, пожалуйста)

Answer 1

Чертёж прикреплён ниже.

На чертеже HB является радиусом основания конуса, AC и CB - образующие, а CH - высота конуса.

Запишем формулу объёма конуса:

$V = \dfrac{1}{3}S_{OCH}\cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot \pi R^2h$ , где  $S_{OCH}$ - это площадь основания конуса, $h$ - высота, коей является отрезок CH, а $R$ - радиус основания конуса, коим является отрезок HB.

Из полученной формулы выразим радиус и подставим известные из условия величины:

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h\\\\\\R = \sqrt{\dfrac{3V}{\pi h}} = \sqrt{\dfrac{3\cdot 27\pi}{\pi\cdot 3}} = \sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}\ _{CM}$

Теперь рассмотрим треугольник, обозначенный на моём чертеже как CHB. Он является прямоугольным, поскольку CH - это высота конуса. Распишем для него теорему Пифагора:

$CH^2 + HB^2 = CB^2$

Можно заметить, что CH - это известная нам из условия высота, HB - радиус основания, который мы только что нашли, а CB - искомая образующая конуса. Выразим её через теорему Пифагора и вычислим значение:

$CB = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{3^2 + \left(3\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\ _{CM}$ .

Ответ: 6 см.