Question

найдите неопределенные интегралы. правильность полученных результатов проверьте дефференцированием.а) интеграл(x^4-1/2х-4)dx
б) интергал х^2 под корнем 3х-7dx

Answer 1

$frac{1}{2} intlimits { frac{ x^{4} -1}{x-2} } , dx$
если поделить многочлен на многочлен, то получим
$frac{ x^{4} -1}{x-2} = x^{3} +2 x^{2} +4x +8 + frac{15}{x-2}$
если проинтегрировать каждое слагаемое,
то получим: $frac{1}{2} ( frac{ x^{4} }{4}+ frac{2 x^{3} }{3} + frac{4 x^{2} }{2} +8x+15ln|x-2|) +C$
Проверить можно, взяв производную полученного выражения
б) $intlimits { x^{2} sqrt{3x7} } , dx = left[begin{array}{ccc}3x-7 =t&3dx= dt\x= frac{t+7}{3}& dx= frac{1}{3} dtend{array}right]$=
$frac{1}{3} * frac{1}{9} int {(t+7) ^{2}t } , dt = frac{1}{27} int {(t ^{3} +14 t^{2}+7t) } , dt$=
=$frac{1}{27} ( frac{ t^{4} }{4} + frac{14 t^{3} }{3} + frac{7 t^{2} }{2}) +C=$
=$frac{(3x-7) ^{2} }{108} + frac{14(3x-7) ^{ frac{3}{2} } }{81} + frac{7(3x-7)}{54} +C$