Question

1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2, параллельно вектору а=(1,2,1), если М1(2,2,1), М2(3,3,2)
2) Написать канонические и параметрические уравнения прямой заданной общими уравнениями: 4х+2у+3z+2=0; 4x+3y+4z+1=0

Answer 1

1.

Уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку с координатами (x₀,y₀,z₀), в общем виде записывается так:

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀)= 0, где коэффициенты A,B,C - координаты вектора нормали $overline n$

Найдём вектор $overline{M_1M_2} = {1,1,1}$

Вектор нормали $overline n$ найдём из векторного произведения векторов a и M₁M₂

$overline{n} =[overline{a}~times~overline{M_1M_2}] = begin{vmatrix} overline i & overline j & overline k \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{vmatrix} = overline i - overline k = {1, 0, -1}$

Плоскость задаётся уравнением:

(x - 2) + 0(y - 2) - (z - 1) = 0

Ответ: x - z - 1 = 0

2.

Чтобы записать уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде необходимо найти направляющий вектор этой прямой и точку, через которую эта прямая проходит

Найдём координаты точки A, которая принадлежит прямой

Пусть z = 0

Решим систему: $left {begin{array}{lcl} {{4x + 3y=-1} \ {4x+2y=-2}}end{array} right. Leftrightarrow ~~left {begin{array}{lcl} {{y=1} \ {x=-1}}end{array} right.$

Координаты точки A(-1, 1, 0)

Найдём координаты точки B, которая принадлежит прямой

Пусть z = -4

Снова решим систему: $left {begin{array}{lcl} {{4x + 3y=15} \ {4x+2y=10}}end{array} right. Leftrightarrow ~~left {begin{array}{lcl} {{y=5} \ {x=0}}end{array} right.$

Координаты точки B(0, 5, -4)

Найдём направляющий вектор прямой$overline{AB} = {0 - (-1), 5 - 1, -4-0} = {1,4,-4}$

Запишем уравнение прямой в каноническом виде: $frac{x+1}{1} =frac{y-1}{4} =frac{z}{-4}$

И в параметрическом виде: $left {begin{array}{lcl} {{x=t-1} \ {y=4t+1} \ {z = -4t}}end{array} right. t in mathbb{R}$