Question

помогите,пожалуйста,решить систему   x^2-2y^2=17 x^2-2xy=-3

Answer 1

Дана система уравнений: 

$begin{cases} x^{2}-2y^{2}=17,\x^{2}-2xy=-3.end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$, получим:

   $y=frac{x^{2}+3}{2x}$--------(1)

  Поскольку $x=0$ не является корнем 2-го уравнения нашей системы, то подставив в первое уравнения системы вместо $y$ выражение (1), мы не потеряем решений системы:

               $x^{2}-2*frac{(x^{2}+3)^{2}}{(2x)^{2}}=17$, отсюда

           $frac{2x^{4}-x^{4}-6x^{2}-9}{2x^{2}}=17$, отсюда

       $x^{4}-40x^{2}-9=0$---------(2)

Замена: пусть $z=x^{2}<var></var>$, тогда (2) примет вид:

     $z^{2}-40z-9=0$ --------(3)

 (3) - квадратное уравнение относительно $z$    

      $D=1600+4*9=1636$  

       $z_{1}=frac{40+2*sqrt{409}}{2}=20+sqrt{409}$

       $z_{2}=frac{40-2*sqrt{409}}{2}=20-sqrt{409}</var><0$ </p> <p>Но второй корень не удовлетворяет условию <img src=[/tex]>0" title="z^{2}>0" alt="z^{2}>0" /> 

Возвращаясь к старой неизвестной, получим:

   $<var>x^{2}=z_{1}=frac{40+2*sqrt{409}}{2}=20+sqrt{409}$ 

Но второй корень не удовлетворяет условию $z^{2}<var></var>>0$ 

Возвращаясь к старой неизвестной, получим:

   $z_{2}=frac{40-2*sqrt{409}}{2}=20-sqrt{409}</var><0$ 

Но второй корень не удовлетворяет условию $z^{2}<var></var>>0$ 

Возвращаясь к старой неизвестной, получим:

   $<var>x^{2}=z_{1}=frac{40 2*sqrt{409}}{2}=20 sqrt{409}$-------(4)

 Из (4) получаем два значения $x" title="<var>x^{2}=z_{1}=frac{40+2*sqrt{409}}{2}=20+sqrt{409}" />-------(4)</var></p> <p> Из (4) получаем два значения [tex]x" alt="<var>x^{2}=z_{1}=frac{40+2*sqrt{409}}{2}=20+sqrt{409}" />-------(4)</var></p> <p> Из (4) получаем два значения [tex]x" />:</p> <p>      [tex]x_{1}=sqrt{20+sqrt{409}}$

      $x_{1}=-sqrt{20+sqrt{409}}$ 

             

      

  Подставим в первое уравнение системы вместо $x^{2}$ выражение (4), найдем соответствующие значения $y$:

             $20+sqrt{409}-2y^{2}=17$, отсюда

            $y$:

        $<var>y_{1}=sqrt{frac{<var>3+sqrt{409}</var>}{2}}$--------(5)

  Из (5) получаем два значения $y$:

        $<var>y^{2}</var>=</var>frac{<var>3+sqrt{409}</var>}{2}$--------(5)

  Из (5) получаем два значения $y$:

        $<var>y_{1}=sqrt{frac{<var>3+sqrt{409}</var>}{2}}" />  </var></p> <p>         [tex]y_{2}=-sqrt{frac{<var>3+sqrt{409}</var>}{2}}$ 

Итак, наша система  имеет четыре решения:

        $(sqrt{20+sqrt{409}}; <var>sqrt{frac{<var>3+sqrt{409}</var>}{2}})</var>$

        $(sqrt{20+sqrt{409}}; <var>-sqrt{frac{<var>3+sqrt{409}</var>}{2}})</var>$ 

        $(-sqrt{20+sqrt{409}}; <var>sqrt{frac{<var>3+sqrt{409}</var>}{2}})</var>$ 

        $(-sqrt{20+sqrt{409}}; <var>-sqrt{frac{<var>3+sqrt{409}</var>}{2}})</var>$