Question

Помогите найти значение производной от функции f(x) = In (sin x) + sin (In x). в точке с координатой 1. Ответ – полученное Вами число, округленное до трех значащих цифр. С объяснением, пожалуйста. 25 баллов :)

Answer 1

$y = \mathrm{f}(x) = \ln(\sin(x)) + \sin(\ln(x))$

$y' = ( \ln(\sin(x)) + \sin(\ln(x)) )' = ( \ln(\sin(x)) )' + ( \sin(\ln(x)) ) ' =$

$= \frac{(\sin(x))'}{\sin(x)} + \cos(\ln(x))\cdot(\ln(x))' =$

$= \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(\ln(x))}{x}$

$y'\big|_{x = 1} = \frac{\cos(1)}{\sin(1)} + \frac{\cos(\ln(1))}{1} =$

$= \mathrm{ctg}(1) + \cos(0) = \mathrm{ctg}(1) + 1 \approx 1{,}64$