Question

Длины диагоналей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, равны 2 корней из десяти см, 2 корней из семнадцати см и 10 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Answer 1

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
А1С1=$2 sqrt{10}$, А1В=$2 sqrt{17}$, A1D=10.
Обозначим измерения параллелепипеда буквами a, b, c:
АА1=а, АВ=b, AD=с.

Рассмотрим прямоугольные треугольники А1В1С1, А1АВ и А1АD.
По теореме Пифагора:
$b^{2} + c^{2} = (2sqrt{10} )^{2}$
$a^{2} + b^{2} = (2sqrt{17} )^{2}$
$a^{2} + c^{2} = 10^{2}$

Выразим a, b и с из этих выражений.
$a^{2} = 100 - c^{2}$
$c^{2} =40 - b^{2}$
$b^{2} = 68 - a^{2}$

$a^{2} = 100 - (40 - b^{2} )= 60+68- a^{2}$
$2a^{2} =128$
$a^{2} =64$
$a=8$

$64+ c^{2} =100$
$c=6$

$b^{2} +36=40$
 $b=2$

Диагональ параллелепипеда находится по формуле:
$d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
$d^{2} =64+4+36$
$d = sqrt{104} =2 sqrt{26}$