Question

При каких значениях b прямая y=bx имеет с графиком функции y=(x-3)/(3x-х в квадрате) ровно одну общую точку?

Answer 1

$f(x)=frac{x-3}{3x-x^2},g(x)=bx$
Определим функцию: $h(x)=f(x)-g(x)$. Из определения следует, что каждый корень $x_{i}:h(x_{i})=0$ укажет координату x пересечения двух функций (то есть: для каждого корня $x_{i}$ верно $h(x_{i})=0=>f(x_{i})=g(x_{i})$).
$h(x)=frac{x-3}{3x-x^2}-bx=>h(x)=frac{x-3-3bx^2+bx^3}{x(3-x)}$
Всё, что от нас требуется - обеспечить единственное решение (три равных корня) $x_{1}$ для h(x).

$f(x)=frac{x-3}{x(3-x)}=>f(x)=-frac{1}{x}:x neq 3=>h(x)=frac{-1-bx^2}{x}:x neq 3$
Если бы h(x) была, к примеру, параболой - можно было найти все значения b для которых справедливо равенство Δ=0 (следовательно - для которых есть единственное решение), но в данном случае у нас рациональная функция, потому нужен другой метод.
Легко проверить что $h(-x)=-h(x)$ следовательно, любой корень $x_{i}$на области x>0 вернёт корень $x_{j}=-x_{i}$. А значит и корня будет два!
Пусть выполняется $-frac{1+bx^2}{x}=0$ когда $x=3$. Как было сказано раньше - мы получим (на первый взгляд) два корня $x_{1}=3,x_{2}=-3$, но!
x=3 был исключён из области определения тут: $h(x)=frac{-1-bx^2}{x}:x neq 3$, а значит вместо $h(3)=0$ мы получаем прокол. Итого - единственный корень x=-3,
что и требовалось. А значения b, выполняющие условие: $b=-frac{1}{9}$
Реверсия. Для $b=-frac{1}{9}$ справедливо: едиственный х выполняющий $h(x_{1})=0$ ⇒ едиственный х выполняющий $f(x_1)=g(x_1)$ ⇒ единственная общая точка.
Ответ: $b=-frac{1}{9}$

Если возникнут вопросы - дайте знать.