Question

Помогите решить надо расписать фото прилогаеться

Answer 1

Ответ:

$1$

Пошаговое объяснение:

$\lim_{x \to 0} \bigg (\dfrac{3-2x^{2}}{3+3x^{2}} \bigg )^{-\dfrac{4}{x}};$

Преобразуем выражение в скобках:

$\bigg (\dfrac{3-2x^{2}}{3+3x^{2}} \bigg )^{-\dfrac{4}{x}}=\bigg (\dfrac{3-2x^{2}}{3+3x^{2}} \bigg )^{-1 \cdot \dfrac{4}{x}}=\bigg ( \bigg (\dfrac{3-2x^{2}}{3+3x^{2}} \bigg )^{-1} \bigg )^{\dfrac{4}{x}}=\bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg )^{\dfrac{4}{x}};$

$a^{log_{a}b}=b, \quad e^{log_{e}b}=e^{lnb}=b;$

$\bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}}\bigg )^{\dfrac{4}{x}}=e^{ln\bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}}\bigg )^{\dfrac{4}{x}}}=e^{\dfrac{4ln \bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg )}{x}};$

Подставим полученное выражение в исходное:

$\lim_{x \to 0} e^{\dfrac{4ln \bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg )}{x}};$

Функция натурального логарифма непрерывна, поэтому:

$\lim_{x \to 0} e^{\dfrac{4ln \bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg )}{x}}=e^{ \lim_{x \to 0} \dfrac{4ln \bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg )}{x}};$

Найдём предел по правилу Лопиталя. Для этого найдём отдельно производные числителя и знаменателя дроби:

$\bigg (4ln \bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg ) \bigg )'=4 \cdot \bigg (ln \bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg ) \bigg )'=4 \cdot \dfrac{1}{\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}}} \cdot \bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg )'=$

$=4\cdot \dfrac{3-2x^{2}}{3+3x^{2}} \cdot \dfrac{(3+3x^{2})' \cdot (3-2x^{2})-(3+3x^{2}) \cdot (3-2x^{2})'}{(3-2x^{2})^{2}}=\dfrac{4 \cdot (3-2x^{2})}{3+3x^{2}} \cdot$

$\cdot \dfrac{6x \cdot (3-2x^{2})-(3+3x^{2}) \cdot (-4x)}{(3-2x^{2})^{2}}=\dfrac{4 \cdot (3-2x^{2})}{3+3x^{2}} \cdot \dfrac{18x-12x^{3}+12x+12x^{3}}{(3-2x^{2})^{2}}=$

$=\dfrac{4 \cdot (3-2x^{2})}{3+3x^{2}} \cdot \dfrac{30x}{(3-2x^{2})^{2}}=\dfrac{4 \cdot (3-2x^{2}) \cdot 30x}{(3+3x^{2}) \cdot (3-2x^{2}) \cdot (3-2x^{2})}=$

$=\dfrac{120x}{(3+3x^{2}) \cdot (3-2x^{2})}=\dfrac{120x}{3 \cdot (1+x^{2}) \cdot (3-2x^{2})}=\dfrac{40x}{(1+x^{2}) \cdot (3-2x^{2})};$

$x'=1;$

$e^{ \lim_{x \to 0} \dfrac{4ln \bigg (\dfrac{3+3x^{2}}{3-2x^{2}} \bigg )}{x}}=e^{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{40x}{(1+x^{2}) \cdot (3-2x^{2})}}{1}}=$

$=e^{ \lim_{x \to 0} \dfrac{40x}{(1+x^{2}) \cdot (3-2x^{2})}}=e^{\dfrac{40 \cdot 0}{(1+0^{2}) \cdot (3-2 \cdot 0^{2})}}=e^{0}=1;$