Question

Логарифмы. Помогите.

Answer 1

ОДЗ: x-1>0; x>1

$\displaystyle \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=log_{0.5}(x-1)\\\\\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}=log_{0.5}(x-1)\\\\ |\sqrt{x-1}-1|+|\sqrt{x-1}+1|=log_{0.5}(x-1)$

раскроем модули

при ОДЗ x>1 второе подмодульное выражение всегда положительно

рассмотрим первый модуль

$\displaystyle |\sqrt{x-1}-1|=\left \{ {{\sqrt{x-1}-1; x\geq 2} \atop {1-\sqrt{x-1}; 1<x<2}} \right.$

рассмотрим условие где x∈(1;2)

$\displaystyle1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1=log_{0.5}(x-1)\\\\2=log_{0.5}(x-1)\\\\x-1=0.25\\\\x=1.25$

по условию корень подходит

рассмотрим условие где x≥2

$\displaystyle \sqrt{x-1}-1+\sqrt{x-1}+1=log_{0.5}(x-1)\\\\2\sqrt{x-1}=log_{0.5}(x-1)\\\\\sqrt{x-1}=log_{0.5}\sqrt{x-1}$

выполним замену √x-1 =t

тогда получаем

$\displaystyle t=log_{0.5}t$

введем две функции f(t)=t прямая, возрастающая

и g(t)=log₀.₅t логарифмическая фукнция убывающая.

если построить их то мы увидим один корерь на промежутке от 0 до 1

тогда 0<√x-1<1; 0<x-1<1; 1<x<2

но по нашему условию х≥2

таким образом корень есть но нам не подходит

Ответ х=1,25