Question

С помощью логарифмического дифференцирования вычислите производные данных функций:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y' = y \bigg (ln\frac{(x-4)^2}{e^{arcctg4x} } \bigg )'$

$\displaystyle ln\frac{(x-4)^2}{e^{arcctg4x} } =\frac{2ln(x-4)}{arcctg4x*lne} =2\frac{ln(x-4)}{arcctg4x}$

теперь посчитаем производную от этой дроби

$\displaystyle \bigg (\frac{ln(x-4)}{arcctg4x} \bigg )'=\left[\begin{array}{ccc}(ln(x-4))'=(ln(x-4))'(x-x)'=\displaystyle \frac{1}{x-4} \\(arcctg4x)'=(arcctg4x)'(4x)'=\displaystyle -\frac{4}{16x^2+1} \\\end{array}\right] =$

$=\displaystyle \frac{(ln(x-4)'arcctg4x-ln(x-4)(arcctg4x)'}{(arcctg4x)^2}$

подставляем производные из квадратных скобок в последнюю дробь и получаем

$= \displaystyle \frac{4ln(x-4)}{(16x^2+1)arcctg^2(4x)} +\frac{1}{(x-4)arcctg4x}$

теперь подставим это в саму начальную формулу и не забудем про множитель 2

$y' = \displaystyle 2 \bigg (\frac{(x-4)^2}{e^{arcctg4x} } \bigg ) \bigg ( \frac{4ln(x-4)}{(16x^2+1)arcctg^2(4x)} +\frac{1}{(x-4)arcctg4x} \bigg )$